Modèles de l’efficience de Random Walk, de Marginale et de Fair Game

By 2 February 2014

1.3.3 Les modèles de l’efficience

La bonne compréhension des tests empiriques nécessite que l’on présente les principaux processus générateurs de séries chronologiques des prix et d’évolution des cours qui sont proposés par les théoriciens. Selon E. Fama (1991), il existe mathématiquement trois modèles d’équilibre : le modèle de marche aléatoire e modèle de martingale et du « fair game », le modèle de processus de retour à la moyenne.

a. Le modèle de marche aléatoire « Random Walk »

Les premiers travaux académiques sur les comportements des prix spéculatifs marquent selon R. Hagin (1971), les premiers pas du modèle de marche aléatoire. En effet, c’est en 1900 que L. Bachelier élabora et procéda au test du modèle de marche aléatoire, décrivant ainsi le comportement des prix des actions dans sa thèse de doctorat. Pour décrire le modèle de marche aléatoire, L. Bachelier utilisa une équation identique à celle qui décrit plus tard le mouvement brownien. Il aboutit au résultat selon lequel, les données « historiques » récentes sur les prix étaient inutiles pour prédire les variations futures des prix. Quelques années plus tard, en 1927, les travaux de l’économiste Russe E. Slutsky sonnèrent comme une résurgence de ceux de L. Bachelier. Ainsi jusqu’au crash boursier de1929, on nota une prolifération des études de type technique, mais qui n’apportèrent pas, cependant une validité rigoureuse à cette approche. De 1930 à 1960, on assiste à des tâtonnements dans les méthodes et techniques, mais pas à des contributions scientifiques majeurs, malgré un désir de compréhension des mécanismes boursiers.

– Evolution du modèle

Seuls M. Kendhall (1953) et H. Roberts (1959) apportèrent une certaine contribution. Le premier trouva que les fluctuations des cours boursiers se comportent presque comme si elles étaient le fruit d’une roulette Russe, autrement dit que chaque résultat était statistiquement indépendant du passé (données passées), ce qui conforta l’idée que les cours boursiers suivaient une marche aléatoire. Quant à H. Roberts (1959), il annonça que probablement tous les modèles classiques sur l’analyse technique peuvent être générés par une parfaite roulette Russe ou une table de nombres au hasard. Pour lui, les séries des prix générées ressemblaient strictement aux données courantes (vraies ou actuelles) sur les actions. Ce qui est intéressant de noter à ce niveau, c’est que ce hasard ou cette correspondance de ces types de données : hasard et réel produisaient des trends (modèles).

Après 1960, l’essentiel des travaux sur le modèle de marche aléatoire s’est focalisé sur la recherche des techniques plus rigoureuses. En effet, le modèle de marche aléatoire peut être testé à partir des variations journalières, hebdomadaires, mensuelles, ou plus, sur les cours. A partir de ce moment, on pourra se demander, si le modèle de marche aléatoire est ainsi validé par tel ou tel intervalle de temps particulier choisi (journalier, mensuel, annuel) et voire aussi ce qui adviendra avec l’utilisation d’un intervalle de temps variable. C’est ainsi que S. S. Alexander (1961) sera le premier à étudier le comportement des fluctuations des cours à partir d’un modèle à intervalle de temps variable. Il utilisa « la technique du filtre »11 pour trouver des résultats statistiquement pour invalider le modèle de marche aléatoire. Cependant P. H. Cootner (1964) fit part d’une erreur dans la méthode de calcul de S.S Alexander. Ce dernier, n’a pu en effet donner assez de précision sur le degré de validité statistique de ses conclusions. Ce qui fait que la probabilité de répétition de tels résultats est incertaine. Malgré cette multitude de résultats, le débat ne sera pas pour autant clos. Au milieu des années soixante, E. Fama (1965) mena quelques tests dans le but de trouver une validation au modèle de marche aléatoire et ne trouva aucun trend dans les cours des actions12.

11 La technique du filtre repose sur l’hypothèse selon laquelle des trends existent dans les fluctuations des cours, mais que ces schémas sont cachés (troublés) par des bruits blancs ou fluctuations non significatives. Ainsi lorsqu’une amplitude (degré de fluctuations) est spécifiée, les fluctuations des cours en deçà de cette amplitude sont ignorées. Alors, les données restant sont étudiées.

12 Il se servit, pour cela, des données d’1 journée à 16 jours pour 30 actions de l’indice Dow Jones, espaçant les périodes de 5 à 7 ans. Et pour tous les intervalles de temps

– Les versions du modèle de marche aléatoire

Le modèle de marche aléatoire se présente en trois versions. La première version fait référence à des rendements indépendants et identiquement distribués, la deuxième à des rendements indépendants mais non identiquement distribués et la troisième à des rendements dépendants et non identiquement distribués.

** La première version : rendements indépendants et identiquement distribués

Dans sa première version, le modèle de marche aléatoire se présente comme suit :

Pt suit une marche aléatoire si,
modèle de marche aléatoire avec Pt = cours de l’actif au temps t et ut indépendants et identiquement distribués

modèle de marche aléatoire modèle de marche aléatoire

De la définition du rendement d’un actif, nous pouvons tirer l’approximation suivante :
définition du rendement d’un actif

Les rendements suivent un bruit blanc, ils sont indépendants

** La deuxième version : rendements indépendants et non identiquement distribués

Le modèle de marche aléatoire peut s’exprimer dans sa deuxième version comme suit :
Le modèle de marche aléatoire peut s’exprimer dans sa deuxième version comme suit

Avec ut indépendants mais non identiquement distribués

L’hypothèse implicite, faite au niveau de la première version, considère la loi de probabilité des rendements comme étant la même sur une longue période. Et si l’on sait qu’on assiste régulièrement à des changements d’ordre économique, social, technologique … ; alors une telle hypothèse peut être sujette à question. Ainsi cette deuxième version permet de tenir compte de l’hétéroscedasticité non conditionnelle de ut, caractéristique de la volatilité de beaucoup de séries des rendements d’actifs financiers.

** La troisième version : rendements dépendants et non identiquement distribués

Cette troisième version relaxe l’hypothèse d’indépendance de la deuxième version pour inclure des processus avec des ut indépendants mais non corrélés. Selon « tout processus pour lequel cov (ut, ut-k) = 0 pour k différent de zéro, mais ou cov (u²t ; u²t-k) différent de zéro pour k différent de zéro, a des ut non corrélés, mais leur indépendance n’est pas claire, car les carrés des résidus son corrélés » [B. Ndong (2007), p.22].

Pour conclure sur le modèle de marche aléatoire , notons, bien qu’ayant été pionnier et fait l’objet de nombreux travaux, il n’a pas échappé à la critique. Il lui est reproché d’aller à l’encontre de certaines lois économiques comme celle de l’offre et de la demande. Pour P. Samuelson (1965), « si les prix suivaient une marche brownienne, cela aurait été une remise en question de certaines lois économiques notamment la loi du marché qui dit que le prix du bien est fonction de l’offre et de la demande » [Idem, p.23]. Malgré ces critiques, il reste tout de même encore un modèle dont le fondement reste partagé. .

b. Le modèle de Martingale et du « fair game »

Les critiques faites sur le modèle de marche aléatoire et les problèmes qu’elles posent ont poussé les chercheurs à trouver un autre pouvant être rapproché plus ou moins avec le cadre de l’équilibre économique13. P. Samuelson (1965) fut le premier à émettre l’idée d’une étude de l’efficience des marchés financiers par le biais du modèle de Martingale en présentant un cadre moins restrictif que le modèle de marche aléatoire. Même si le modèle de Martingale tente d’être plus général et plus large, il est à rappeler qu’il s’approprie largement des arguments du modèle de marche aléatoire. Et « contrairement à la marche aléatoire, le modèle de Martingale constitue un véritable modèle économique des prix des actifs, dans le sens qu’il peut être lié aux hypothèses primitives sur les préférences et les rendements, qui, bien que restrictives, ne le sont pas à tel point de rendre nécessaire ou évident le besoin de justification économique». [Ibidem, p.24].

13 C’est ce qui justifie surement qu’un certains nombres d’auteurs qui ont étudié le comportement des prix au niveau du marché financier et, ont opté pour l’approche dite des asymétries d’information caractérisée par l’étude de l’équilibre du marché par diverses hypothèses de concurrence parfaite, d’anticipations rationnelles d’information incomplète, de concurrence imparfaite etc..

– Spécification du modèle de Martingale et du « fair game »

Un processus stochastique Pt est une Martingale conditionnellement à un ensemble d’information Φt, si Pt a la propriété suivante :
modèle de Martingale

Cela signifie que Pt constitue la prévision optimale de Pt+1, on dit que Pt suit une martingale si et seulement si l’accroissement (Pt+1- Pt) est un « fair game », qui se définit par la relation suivante :  modèle du fair game

Ainsi, la prévision de Pt+1, compte tenu de l’information disponible, et quelque soit sa valeur est égale à zéro.

la prévision de Pt+1, compte tenu de l’information disponible

Cela veut dire que si Pt+1-Pt suit un fair game alors Pt suit une martingale. Les rendements suivent un fair game si et seulement si, la valeur actualisée des revenus futurs composée de gain en capital et de dividendes suivent une martingale. La valeur actualisée des revenus n’est rien d’autre que la valeur anticipée (prévue) du prix du titre. C’est par ailleurs la valeur fondamentale. Contrairement au modèle de marche aléatoire ou la valeur fluctue autour de sa valeur fondamentale, dans le modèle de martingale, le prix est supposé égal à la valeur fondamentale. Le modèle de martingale interdit la possibilité de réaliser un profit en spéculant sur la différence entre le prix observé et sa valeur fondamentale.

Une des variantes de ce modèle est :

– Le modèle de sous martingale « submartingal model »

Ce modèle peut être exprimé sous l’une des deux formes suivantes :
Le modèle de sous martingale submartingal model

On dira que la séquence des prix suit alors une martingale.

Les limites de ce modèle sont liées aux hypothèses restrictives attachées aux distributions de probabilité et à la stabilité dans le temps de préférence des investisseurs.

c. Le modèle de Processus de retour à la moyenne « mean reversion »

Il existe deux variantes :

– Cas où le processus d’espérance est constant :

Un processus d’espérance constante est décrit par la relation :
le processus d’espérance est constant

Les prix observés vont présenter une tendance au retour à la moyenne (mean reverting process), si et seulement si, un prix supérieur à la moyenne sera suivi, en moyenne, par un prix inférieur à celle ci. Bien que les prix eux mêmes soient non corrélés, les changements de prix successifs sont auto corrélés négativement. Ainsi, ce modèle décrit le comportement d’un prix dont on s’attend à ce qu’il soit stable en longue période au niveau μ.

– Cas où le résidu est un processus autorégressifs d’ordre 1

R. J Shiller (1982) et L.H Summers (1986), présentent le modèle de retour à la moyenne, en tant qu’alternatif à celui de martingale en supposant que le processus décrivant les variations des cours des actions est la somme d’une composante permanente et une autre aléatoire.

Le modèle se présente comme suit :
processus autorégressifs d’ordre

Où, µt et δt désignent respectivement un bruit blanc et un processus autorégressif d’ordre (1). La dernière relation implique que le cours observé (évalué par le marché) diffère de sa valeur fondamentale par un facteur multiplicatif approximativement égal à . Deux principales implications peuvent être tirées du modèle de retour à la moyenne et qui semblent, au moins à court terme, contradictoires :

** D’une part, le phénomène de retour à la moyenne signifie qu’il existe une relation stable à long terme entre les cours et les fondamentaux (dividendes) et donc l’hypothèse d’efficience est vérifiée.

** D’autre part, parler d’un phénomène de retour à la moyenne, revient à admettre qu’il existe un écart du moins à court terme, entre les cours observés et leurs valeurs fondamentales; ce qui contredit l’efficience.

Conclusion chapitre 1

Tout au long de ce chapitre on a vu que les notions d’efficience, de rationalité et d’anticipations rationnelles sont au centre du débat sur les théories des marchés financiers. Le passage en revue de la notion des anticipations rationnelles montre comment se fondent les décisions des différents opérateurs notamment sur la prévision des cours, processus dans lequel l’information et son traitement sont des éléments primordiaux. On a aussi vu dans ce chapitre que la détention de l’information par les opérateurs de marché constitue un des éléments clés de prise de décision. Avec l’établissement de modèles d’efficience des marchés financiers correspondant au degré d’incorporation de l’information, on voit que cette variable joue un rôle majeur dans le comportement des opérateurs. On le verra dans le chapitre 2 qui est réservé à l’étude de la forme semi-forte de l’efficience ou l’information est sensée être traitée et incorporée en temps réel par les opérateurs.

Etude de l’efficience semi-forte des marchés financiers : cas de la bourse de Casablanca
Mémoire pour l’obtention du Master en Finance Appliquée
Université Cadi Ayyad de Marrakech – Faculté des sciences juridiques Économiques et sociales

Sommaire :
Introduction
Chapitre 1 : Notions d’efficience, de rationalité et d’anticipations rationnelles
1 .1.2 : Hypothèses et implications de cette notion de l’efficience
1.2- Notions de rationalité et des anticipations rationnelles
1.3 – L’efficience informationnelle du marché et ses modèles
Chapitre 2 : la forme semi-forte de l’efficience et les tests d’événements
2.1 : Revue de littérature sur les études d’événements
2.2 : La méthodologie de l’étude d’événement
Chapitre 3 : vérification empirique
3.1 Présentation de la bourse des valeurs de Casablanca
3.2 : l’étude de l’événement
3.3 : Les principaux résultats
Conclusion