Théorie du chaos, Qu’est-ce que la théorie du chaos?

By 5 January 2013

Théorie du chaos – 5° Partie :

5.1. Introduction

La théorie du chaos date des années 1970 et est née des travaux du météorologue Edward Lorenz. Celui-ci cherchait à modéliser des écoulements météorologiques grâce à un ordinateur. Il établit un système de trois équations différentielles qui lui permettait de faire des simulations de courants aériens. A l’époque, encore influencé par la mécanique déterministe newtonienne, on pensait que les phénomènes météos pouvaient se décrire à l’aide d’équations différentielles comme on pouvait le faire avec le mouvement des planètes ou des objets et ainsi pouvoir prévoir la météo de façon certaine voire même contrôler le temps. Lorenz s’est rendu compte qu’il n’en était rien.

Cette théorie révolutionnaire a essaimé à travers toutes les autres sciences pour donner naissance à des dizaines de modèles dans des domaines aussi variés que la météorologie, l’écologie, la médecine, la physique, l’aérodynamique, l’astronomie, etc.

5.1.1. Qu’est-ce que la théorie du chaos?

La théorie du chaos est une discipline qui “s’attache principalement à la description de systèmes à petit nombre de degrés de liberté, relativement simple à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée”. Ce sont des systèmes déterministes qui créent des comportements imprévisibles.

En fait, un système chaotique se caractérise par les points suivants :
– Il est non-linéaire, c’est à dire qu’il n’est pas définissable par une équation ou un polynôme du premier degré.
– Il n’est pas cyclique, c’est à dire qu’à aucun moment sa trajectoire passe par un point sur lequel elle est déjà passée, ce qui entraînerait la naissance de cycles puisqu’on aurait Théorie du chaos et donc Théorie du chaos

– La sensibilité aux conditions initiales. C’est à dire qu’une très petite variation au niveau du choix des valeurs initiales entraîne de très grandes variations après quelques itérations
– Il contient des formes récurrentes

5.1.2. L’effet papillon.

Etant donné la complexité de résolution de certains systèmes d’équations différentielles, les scientifiques ont tendance à simplifier ceux-ci de façon à pouvoir les résoudre ou faire des simulations plus facilement. C’est ainsi que Lorenz utilisa un système de trois équations différentielles non linéaires (c’est à dire avec des xy et yz) :

Théorie du chaos, Qu'est-ce que la théorie du chaos?
où Pr, R et b sont des constantes et x, y, z sont les variables.

Il traitait ce système d’équations avec un des premiers ordinateurs qui rendait poussivement ses résultats sous formes de colonnes de nombres à trois décimales. Or un jour, Lorenz décida de reprendre ses itérations au milieu d’un calcul. Il introduisit donc les nombres à trois décimales dans son ordinateur et il fut fort surpris de voir que les résultats que la machine calculait étaient équivalents dans un premier temps puis divergeaient totalement après quelques itérations. Après avoir essayé de comprendre la raison de cette divergence, il compris que l’ordinateur calculait sur six décimales mais n’en affichait que trois. Ceci entraînant une variation minime à partir de la quatrième décimale par rapport aux données de départ. Mais cette variation microscopique avait des effets considérables. Il avait découvert une propriété essentielle de la théorie du chaos qui est la sensibilité aux conditions initiales. Il compris aussi que nous ne pourrions jamais prévoir complètement les phénomènes météorologiques à long terme étant donné qu’une variation microscopique pouvait rapidement faire diverger complètement les résultats. C’est ainsi qu’est né ce qu’on appelle l’effet papillon où une minuscule perturbation des conditions initiales est telle que le battement d’aile d’un papillon pourrait entraîner la formation d’un cyclone à l’autre bout de la planète.

C’est ainsi que Lorenz venait de prouver que l’avenir n’est pas prédictible, contrairement à ce qu’affirmait la doctrine déterministe.

5.1.3. Les attracteurs étranges.

Si vous tracez les points successifs générés par un système chaotique comme les équations de Lorenz, vous allez voir les trajectoires s’enrouler pour former une figure qu’on appelle un attracteur étrange.

Théorie du chaos
(Source : Wikipedia : Théorie du chaos, URL : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos#cite_note-1, page consultée le 22/07/08)

Pour visualiser un attracteur étrange, il suffit de définir un point de départ assez proche de l’attracteur et d’observer la figure se former. Si on défini un autre point de départ, les trajectoires iront s’enrouler autour du même attracteur et former la même figure. Cependant, le dessin de cette figure n’est pas régulier dans la façon dont il va se former et on ne peut pas prédire où on va se retrouver sur l’attracteur, on sait juste qu’on y sera. En effet, la trajectoire va peut-être se trouver sur un côté de la boucle pendant 4-5 tours, avant d’aller sur la deuxième boucle, puis de revenir et ce, sans jamais repasser par les mêmes points. En fait, c’est ce comportement là qui est chaotique. On découvre une sorte d’ordre sous-jacent au chaos.

Ici, nous avons vu l’attracteur de Lorenz qui fait partie de la famille des attracteurs étranges. Il en existe d’autres plus compliqués comme celui-ci :

Théorie du chaos
(Source : André Lévesque, Les attracteurs étranges, Département des mathématiques, collège Maisonneuve, URL : http://math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/chaos_fract/Attracteurs/Attracteurs.html, page consultée le 15/07/08)

5.1.4. Les fractales.

Définition : “Un objet peut être qualifié de fractal s’il possède la propriété suivante : quelque soit le nombre k, il contient un morceau qui est sa réduction dans un rapport plus petit que k. On dit qu’il existe un rapport d’homothétie au sein de l’image fractale, ou que celle-ci est autosimilaire.”

Les fractales sont liées à la théorie du chaos car, comme nous le verrons, les fonctions qui décrivent les fractales sont très souvent des fonctions qui engendrent le chaos.

Une fractale se caractérise donc par les points suivants :
– L’invariance d’échelle : on retrouve les mêmes formes quelque soit l’échelle à laquelle on regarde. L’échelle n’est donc pas un paramètre déterminant. On peut zoomer indéfiniment sur une fractale et découvrir des dessins semblables au fur et à mesure de notre plongée.
– Autosimilarité : c’est à dire qu’on retrouve les formes semblables à toutes les échelles. On ne passera pas de courbes à des angles et vice-versa. On retrouve des figures semblables mais pas toujours identiques.

Si Mandelbrot a donné leur nom aux fractales, plusieurs formes avaient déjà été étudiées. Voici quelques exemples qui permettront de bien comprendre le concept de fractale.

– Le flocon de Koch :

Le flocon de Koch
(Source : Wikipedia, URL : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale, page consultée le 22/07/08)

Chaque segment est modifié de façon à faire apparaître un nouveau triangle (sans sa base).

– Le tapis de Sierpinski :

Le tapis de Sierpinski
(Source : Eskimo.com, Honors geometry, URL : http://www.eskimo.com/~earther/HonGeo/indexp1.htm, page consultée le 22/07/08)

Où chaque carré est divisé en 9 parties égales et on en retire le centre.

On voit que ces figures sont assez simples à construire. On doit à John Hubbard, une percée assez spectaculaire dans le monde des fractales qui n’étaient alors que des simples jouets mathématiques. Il voulait tester la méthode itérative de Newton pour la résolution d’équations simples.

Prenons par exemple l’équation x³-1=0.

On sait que cette équation admet 1 comme solution, mais cette équation a aussi deux solutions dans les nombres complexes :

équation
et
équation

A partir d’un point choisi, nous allons lancer les itérations de la méthode de Newton et, en principe, nous allons converger vers l’une des trois racines. Ces trois racines se comportent alors comme des attracteurs étranges où la trajectoire des points se rapprochaient indéfiniment de la racine sans jamais la toucher.

Hubbard voulu dessiner les frontières du plan complexe à l’intérieur desquels on trouvait les points de départ qui faisait converger la méthode de Newton vers l’une ou l’autre racine. Pour ce faire, il prit une grille de points sur le plan et calcula pour chacun d’eux la racine vers laquelle la méthode de newton convergeait. Le plan complexe était bien séparé en 3 parties distinctes mais la frontière entre ces parties était d’une complexité incroyable. En fait, il n’existait pas vraiment de frontière. Celle-ci était découpée de formes géométriques qui se répétaient à l’infini. C’était la première fois qu’on générait mathématiquement des formes aussi complexes apparentées à ce que Mandelbrot appelait déjà les fractales (voir page suivante). On découvrit ensuite des dizaines de procédés différents pour dessiner d’autres fractales à l’aide d’ordinateurs.

Hubbard
(Source : Atelier du cod’art, Sfacs, www.siteduzero.com, le 10/07/2007, page consultée le 22/07/08)

Les fractales se retrouvent un peu partout dans la nature. On peut les retrouver dans le dessin des feuilles de fougères, dans la description de côtes maritimes, dans le chou romanesco, dans les branches des arbres, dans les flocons de neige, etc.

Hubbard
(Source : Patrick Weisz, Dieu n’est pas phénoménal, URL : http://www.patriceweisz.blogspot.com/, page consultée le 22/07/08)

Et si on se fie aux caractéristiques des fractales, un cours de bourse est aussi une fractale dans la mesure où les formes générées sont semblables et où on peut zoomer de plus en plus finement (malheureusement pas indéfiniment). Ci-après, vous avez un zoom de la courbe intraday d’Apple sur le NASDAQ. On est déjà à l’intérieur d’un zoom d’une courbe beaucoup plus vaste qui regroupe l’ensemble de tous les cours de la valeur depuis le premier jour de cotation.

Théorie du chaos, Qu'est-ce que la théorie du chaos?

Lire le mémoire complet ==> (Comparaison épistémologique entre les modèles issus des sciences de la vie et les modèles de valorisation d’actions)
Mémoire présenté pour l’obtention du grade de Master en sciences commerciales
Enseignement supérieur de type long de niveau universitaire
Groupe ICHEC – ISC St-LOUIS – ISFSC – Haute Ecole